05/06 - Carolina Blasio

Não tenha medo do Desconhecido

Carolina Blasio*

CLE/IFCH/Unicamp

um trabalho em conjunto com João Marcos, LoLITA & DIMAp/UFRN

Em geral as noções de consequências introduzidas tanto por meios semânticos quanto por algum formalismo dedutivo, ou mesmo, enquanto relações/operações abstratas entre (coleções de) sentenças, são frequentemente explicadas em termos de julgamentos, tais como, asserções ou refutações de sentenças por parte de agentes.  De fato, do ponto de vista semântico, tais julgamentos são com frequência identificados com valores de verdade. Nossa proposta é substituir os julgamentos dos agentes por um conjunto de atitudes cognitivas como aceitar e rejeitar uma dada informação, e organizar tais atitudes em uma estrutura de oposição da qual podemos definir uma noção de consequência semântica com quatro posições, denominada 'B-entailment', que generaliza as conhecidas abordagens de Tarski e Shoesmith & Smiley. Ao deixar de considerar os agentes como fontes comprometidas de informação para entendê-los como consultores de informação, fornecemos uma interpretação natural para os valores não-clássicos que caracterizam o 'desconhecido', por exemplo: uma sentença pode levar um agente a não ter razões para aceitá-la e nem rejeitá-la; alternativamente,  um agente pode ter razão em não aceitar uma sentença bem como razões para não rejeitá-la. Outra vantagem da noção generalizada de consequência semântica para muitos valores é que ela fornece um framework simples e interessante para a representação uniforme de muitas lógicas conhecidas.

*Bolsista CNPq de doutorado em Filososia-IFCH/UNICAMP

29/05 - Newton Marques Peron

MATRIZES NÃO-DETERMINÍSTICAS PARA LÓGICA MODAL

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Em 1914, Lewis propôs a hierarquia S1-S5, o que é geralmente estipulado como o primeiro trabalho em lógica modal formal. Embora Lewis tenha proposto algumas matrizes multi-valoradas para mostrar a independência de seus axiomas, em 1940 Dugundji provou que nenhum sistema entre S1 e S5 pode ser caracterizado por matrizes finitas. 

O resultado de Dugundji forçou de um lado a abordagem algébrica de McKinsey e Tarski e de outro lado o desenvolvimento da semântica relacional de Kripke. O sucesso dessa última ofuscou a semântica algébrica e abordagens ainda mais heterodoxas, como as matrizes não-determinísticas - ou Nmatrizes - de Kearns de 4 valores para os sistemas T, S4 e S5.

Antes dos primeiros trabalhos de Kripke, Lemmon havia mostrado que toda a hierarquia de Lewis podia ser formalizada em termos do operador "necessário". Mudando os operadores primitivos, Lemmon propôs outras duas hierarquias: D1-D5 e E1-E5. Ele também apresentou um sistema mais fraco que S1, a saber, S0.5.

Se substituirmos os axiomas (T) por (D) nos sistemas T e E2 nós obtemos os sistemas D e D2,  respectivamente. Seja D0.5 o sistema obtido substituindo também (T) por (D) em S0.5. Veremos que D, D2 e D0.5 são corretos e completos com relação à semântica de Nmatrizes de 6 valores.

Embora esses sistemas podem ser caracterizados por Nmatrizes de 4 e 6 valores, a noção de nível de valoração é também necessária. Ivlev explorou a axiomática de Nmatrizes de 4 valores sem essa maquinaria. Em particular, Sa+ tem as mesmas Nmatrizes de 4-valores de Kearns para T sem os níveis de valoração. Seja Dm o sistema obtido substituindo T por D em Sa+. Veremos que Dm é a contraparte axiomática das Nmatrizes de 6 valores sem níveis de valoração e que, eliminando os dois valores adicionais, obtemos exatamente as Nmatrizes de Kearns para T. 

22/05 - Tony Marmo

Crispness, Consistency, Necessity...

Sylvain Bromberger has proposed– in more complicate manner than it can be spelt out herein– that in order to understand rational thinking one should firstly consider how questions are selected, namely what makes them distinctive to be admissible as objects of our explanation. The distinctiveness of the questions is arguably based on cognitive constraints rather than on the nature of the subjects. If this is correct, the discovery of the logic operators, regardless of the different they belong to, traces its roots not to the subjects they may apply but to a pre-existent rationality. Thus, for instance, the difference of a crisp concept and fuzzy one is not rooted on the objects one examines, which could, by their very nature, be described fuzzily or crisply, but on the natural way the human mind deals with different objects.

Here we propose a debate on whether the different logic and philosophical notions of crispness and consistency of objects should be treated as equivalent, inasmuch as one can select roughly the same cluster of questions. Maybe crispness is more suitable to explain consistency than necessity.

Observação: O seminário será apresentado em português, se não houver convidado estrangeiro presente. 

08/05 - Henrique Almeida

O Teorema de Frege e a Teoria Neo-Fregiana da Aritmética

O Teorema de Frege estabelece que (i) os símbolos primitivos da Aritmética de Segunda Ordem (AP₂) podem ser definidos na teoria de segunda ordem cujo único axioma próprio é o Princípio de Hume (PH), denominadaAritmética de Frege (AF); e que (ii) as traduções correspondentes dos axiomas de AP₂ podem ser derivadas nessa teoria.

Esse resultado foi informalmente apresentado por Frege no seu Die Grundlagen der Arithmetik (1984), §§70-83, onde ele formula definições dos conceitos aritméticos elementares em termos do operador ‘o número de ...s’, introduzido pelo Princípio de Hume, e fornece um esboço de como os axiomas de Dedekind-Peano podem ser provados a partir desse princípio sem fazer uso Axioma V. Embora já estivesse presente no Grundlagen, o Teorema de Frege somente foi explicitamente reconhecido no final do século passado: em 1983, Crispin Wright tentou reproduzir sem sucesso a derivação do paradoxo de Russell em AF e apresentou uma exposição formal detalhada das derivações dos axiomas de AP₂ nessa teoria, e, em 1987,  Boolos provou a consistência da Aritmética de Frege em relação à consistência da Aritmética de Segunda Ordem.

Além de investigações formais, a redescoberta do Teorema de Frege motivou o surgimento de uma proposta de reabilitação do logicismo aritmético fregiano, na qual Bob Hale e Crispin Wright reivindicam que, para além de um resultado meramente técnico, o Teorema de Frege possui um significado filosófico fundamental para a explicação de nosso conhecimento dos axiomas e teoremas da aritmética.

Neste seminário, iremos apresentar, em termos gerais, o Teorema de Frege e as principais teses do neo-logicismo fregiano de Hale e Wright, e expor, de maneira um pouco mais detalhada, a prova da consistência da Aritmética de Frege em relação à Aritmética de Segunda Ordem formulada por Boolos.

24/04 - Ricardo Grande

On the mathematical discovery of new physical phenomena

The objective of this lecture is to try to develop an answer to the following question: how is it possible to physicists to preview new physical phenomena only by looking to some specific terms that lie in the mathematical formalism of some physical theory? Our starting point will be the historical analysis of the prediction of a quantum phenomenon by David Bohm and Yakir Aharonov (Bohm e Aharonov, 1959), the so called Aharonov-Bohm effect. Then we’ll discuss some aspects of the mathematical and physical foundations of quantum theory in opposition to classical theory of electromagnetism.  Finally, we are going to show our philosophical point of view about the subject. 

As it’s well known, that effect was previewed when Bohm and Aharonov suggested a special kind of interpretation to a vector function called  vector potential  that entered Schödinger equation. To understand what they had in mind, we need to look very briefly to the way potentials enter in the formulation of classical 

electrodynamics. Potentials (e.g., the vector potential) were introduced in the theory of classical electromagnetism only as a mathematical tool to compute the fields whilst the fields (solely) were the responsible for the physical effects. For instance, the electromagnetic field     was intended to be obtained by calculating the rotational of the potential, i.e.,- but in quantum mechanics, based on Aharonov and Bohm views, the potential    could have a brand new physical interpretation leading to a brand new and non-classical phenomena.  That one could be tested empirically. Its existence was empirically tested and rigorously demonstrated by Tonomura (Tonomura, 1989). Our approach will be guided by some of da Silva’s ideas (da Silva, 2010) on the foundations of mathematics we’ve been studying since our PhD work (Grande 2011) and our current studies on the philosophical aspects of the Aharonov-Bohm effect. 

BOHM, D. E AHARONOV, Y.  Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory. Phys. Rev. 115, 485-491 (1959).

DA SILVA, J. J.“Structuralism and the applicability of mathematics”, Axiomathes 20 – 229-253 (2010).

GRANDE, R. M. A aplicabilidade da matemática à física. Tese de doutorado apresentada ao instituto de 

filosofia e ciências humanas da Unicamp, Campinas (2011).

                                                          

17/04 - Juan Carlos

Restricted normal modal logics and levelled possible worlds semantics

Restricted normal modal logics are defined by imposing conditions on the modal axioms and rules of normal modal systems. The conditions are defined in terms of a depth (associated with the modal connective) and a complexity function. It is proven that the logics obtained are characterized by a subtle adaptation of the  possible worlds semantics in which levels are associated with the worlds. Restricted normal modal logics constitute a general framework allowing the definition of a huge variety of modal systems, which can have different applications. For instance, they are useful to define epistemic logics where the logical omniscience problem is partially controlled.

10/04 - Walter Carnielli

Título: Várias semânticas para umas poucas  lógicas

Resumo:

As "semânticas de traduções possíveis" podem dar um significado semântico a vários tipos de sistemas lógicos, embora originalmente projetadas   para uma classe de lógicas paraconsistentes chamada "lógicas da inconsistência formal" (que cobre a hierarquia  de N. da Costa e diversas outras). Usando tal semântica, várias lógicas complexas podem ser   naturalmente decomponíveis (e também componíveis), por meio de combinações adequadas de  sistemas lógicos simples. Casos particulares das semânticas de traduções possíveis são as "semânticas da sociedade", as "semânticas diádicas" e   as "semânticas  não-determinísticas". Pretendo discutir exemplos de semânticas de traduções possíveis  e algumas relações entre estas e semânticas conhecidas  para  LP (Priest), K3 (Kleene) e FDE (Anderson & Belnap), com vistas a um entendimento mais profundo de  uma abordagem semântica  unificada.