Translate

28.5.13

29/05 - Newton Marques Peron

MATRIZES NÃO-DETERMINÍSTICAS PARA LÓGICA MODAL

=============================================


Em 1914, Lewis propôs a hierarquia S1-S5, o que é geralmente estipulado como o primeiro trabalho em lógica modal formal. Embora Lewis tenha proposto algumas matrizes multi-valoradas para mostrar a independência de seus axiomas, em 1940 Dugundji provou que nenhum sistema entre S1 e S5 pode ser caracterizado por matrizes finitas. 



O resultado de Dugundji forçou de um lado a abordagem algébrica de McKinsey e Tarski e de outro lado o desenvolvimento da semântica relacional de Kripke. O sucesso dessa última ofuscou a semântica algébrica e abordagens ainda mais heterodoxas, como as matrizes não-determinísticas - ou Nmatrizes - de Kearns de 4 valores para os sistemas T, S4 e S5.



Antes dos primeiros trabalhos de Kripke, Lemmon havia mostrado que toda a hierarquia de Lewis podia ser formalizada em termos do operador "necessário". Mudando os operadores primitivos, Lemmon propôs outras duas hierarquias: D1-D5 e E1-E5. Ele também apresentou um sistema mais fraco que S1, a saber, S0.5.



Se substituirmos os axiomas (T) por (D) nos sistemas T e E2 nós obtemos os sistemas D e D2,  respectivamente. Seja D0.5 o sistema obtido substituindo também (T) por (D) em S0.5. Veremos que D, D2 e D0.5 são corretos e completos com relação à semântica de Nmatrizes de 6 valores.



Embora esses sistemas podem ser caracterizados por Nmatrizes de 4 e 6 valores, a noção de nível de valoração é também necessária. Ivlev explorou a axiomática de Nmatrizes de 4 valores sem essa maquinaria. Em particular, Sa+ tem as mesmas Nmatrizes de 4-valores de Kearns para T sem os níveis de valoração. Seja Dm o sistema obtido substituindo T por D em Sa+. Veremos que Dm é a contraparte axiomática das Nmatrizes de 6 valores sem níveis de valoração e que, eliminando os dois valores adicionais, obtemos exatamente as Nmatrizes de Kearns para T. 

Nenhum comentário:

Postar um comentário